מתמטיקה במודעות

חקירת פונקציה – 5 יח״ל

שלבים, כללים ודוגמאות שימושיות

סדר העבודה המומלץ

  1. 1תחום הגדרה
  2. 2חיתוך עם צירים
  3. 3נגזרת ראשונה
  4. 4נקודות קיצון
  5. 5תחומי עלייה וירידה
  6. 6נגזרת שנייה
  7. 7נקודות פיתול ותחומי קעירות
  8. 8אסימפטוטות וסקיצה

1.תחום הגדרה

בודקים עבור אילו ערכי xx הפונקציה מוגדרת

כללים נפוצים
מנהP(x)Q(x)\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}Q(x)≠0\displaystyle Q(x) \neq 0
שורש זוגיg(x)\displaystyle \sqrt{g(x)}g(x)≥0\displaystyle g(x) \ge 0
לוגריתםln⁡(g(x))\displaystyle \ln\bigl(g(x)\bigr)g(x)>0\displaystyle g(x) > 0
כותבים:״תחום ההגדרה הוא …״

2.נקודות חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר yy

  • מציבים x=0x = 0 (אם 0 בתחום ההגדרה)
  • נקודת החיתוך: (0, f(0))\bigl(0,\ f(0)\bigr)

חיתוך עם ציר xx

  • פותרים f(x)=0f(x) = 0
  • בפונקציה רציונלית P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)}: פותרים P(x)=0P(x) = 0 ובודקים ש-Q(x)≠0Q(x) \neq 0
  • נקודת החיתוך: (a, 0)\bigl(a,\ 0\bigr), עבור כל פתרון aa

3.נגזרת ראשונה

מחשבים f′(x)f'(x)

כללי גזירה חשובים
סכום(u+v)′=u′+v′\displaystyle (u + v)' = u' + v'
מכפלה(uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)' = u'v + uv'
מנה(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)
שרשרת(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\displaystyle \bigl(f(g(x))\bigr)' = f'\bigl(g(x)\bigr) \cdot g'(x)
למה?כדי למצוא: נקודות קיצון ותחומי עלייה/ירידה

4.נקודות קיצון

1מציאת מועמדים

  • f′(x)=0f'(x) = 0
  • בודקים נקודות שבהן f′f' אינה מוגדרת אך ff מוגדרת בהן, כי גם שם ייתכן קיצון (למשל f(x)=∣x∣f(x) = |x| ב-x=0x = 0)
  • נקודות מחוץ לתחום ההגדרה של ff אינן יכולות להיות נקודות קיצון (להבדיל מהנגזרת)

2בדיקת סוג הקיצון בנקודות שבהן f′(x)=0f'(x) = 0

עושים טבלת סימנים ל-f′(x)f'(x) סביב כל נקודה מועמדת

מקסימום
הנגזרת f′f'
+|0|−
הפונקציה ff
מינימום
הנגזרת f′f'
−|0|+
הפונקציה ff

אין שינוי סימן – אין קיצון: נקודה שבה הנגזרת אינה משנה סימן אינה נקודת קיצון, גם אם f′f' מתאפסת בה (למשל f(x)=x3f(x) = x^3 ב-x=0x = 0)

אין קיצון – עולה
הנגזרת f′f'
+|0|+
הפונקציה ff
אין קיצון – יורדת
הנגזרת f′f'
−|0|−
הפונקציה ff

3נקודות שבהן f′f' אינה מוגדרת

גם כאן בודקים את הסימן של f′f' משני צידי הנקודה – בתנאי ש-ff רציפה בנקודה

  • f′f' משנה סימן מחיובי לשלילי – נקודת מקסימום
  • f′f' משנה סימן משלילי לחיובי – נקודת מינימום
  • f′f' אינה משנה סימן – אין קיצון
  • למשל f(x)=∣x∣f(x) = |x|: משמאל ל-0 f′(x)=−1f'(x) = -1 ומימין f′(x)=1f'(x) = 1, ולכן x=0x = 0 נקודת מינימום
  • אם ff אינה רציפה בנקודה, טבלת הסימנים לא מספיקה: משווים ישירות את f(a)f(a) לערכי ff בסביבת הנקודה
מינימום בנקודה שבה f′f' אינה מוגדרת
הנגזרת f′f'
−|לא מוגדרת|+
הפונקציה ff

4מציאת ה-yy

עבור כל נקודת קיצון x=ax = a, מציבים y=f(a)y = f(a)

נקודת הקיצון היא: (a, f(a))\bigl(a,\ f(a)\bigr)

5.תחומי עלייה וירידה

לפי הסימן של f′(x)f'(x)

  • אם f′(x)>0f'(x) > 0 הפונקציה ff עולה
  • אם f′(x)<0f'(x) < 0 הפונקציה ff יורדת

מחלקים את ציר ה-xx לפי:

  • נקודות שבהן f′(x)=0f'(x) = 0
  • נקודות שבהן f′f' לא מוגדרת
  • נקודות שבהן תחום ההגדרה נקטע
xyעולהיורדתעולה

6.נגזרת שנייה

מחשבים f′′(x)f''(x)

למה?כדי למצוא: נקודות פיתול ותחומי קעירות
כללי גזירה שימושיים
  • (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)' = n x^{n-1}
  • (sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle (\sin x)' = \cos x
  • (cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)' = -\sin x
  • (ex)′=ex\displaystyle (e^x)' = e^x
  • (ln⁡x)′=1x(x>0)\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)

7.נקודות פיתול ותחומי קעירות

1מציאת מועמדים

  • f′′(x)=0f''(x) = 0
  • בודקים נקודות שבהן f′′f'' אינה מוגדרת, אם הפונקציה ff מוגדרת בסביבתן, כי גם שם ייתכן שינוי קעירות

2בדיקת סוג שינוי סימן

שלב ראשון: האם יש שינוי סימן ל-f′′(x)f''(x)?

עושים טבלת סימנים ל-f′′(x)f''(x) סביב הנקודה המועמדת

−|0|−
אין שינוי סימן
אין נקודת פיתול
+|0|+
אין שינוי סימן
אין נקודת פיתול
−|0|+
יש שינוי סימן
לכן נקודת פיתול
+|0|−
יש שינוי סימן
לכן נקודת פיתול

שלב שני: סוג הקעירות נקבע לפי הסימן של f′′f'' בקטע

  • אם f′′(x)>0f''(x) > 0, אז f′(x)f'(x) עולה ולכן f(x)f(x) קעורה כלפי מעלה
  • אם f′′(x)<0f''(x) < 0, אז f′(x)f'(x) יורדת ולכן f(x)f(x) קעורה כלפי מטה
ff עולה וקעורה כלפי מעלה
(f′′(x)>0)(f''(x)>0)
f(x)f(x)xy
f′(x)f'(x)xy
ff יורדת וקעורה כלפי מעלה
(f′′(x)>0)(f''(x)>0)
f(x)f(x)xy
f′(x)f'(x)xy
ff עולה וקעורה כלפי מטה
(f′′(x)<0)(f''(x)<0)
f(x)f(x)xy
f′(x)f'(x)xy
ff יורדת וקעורה כלפי מטה
(f′′(x)<0)(f''(x)<0)
f(x)f(x)xy
f′(x)f'(x)xy

3מציאת ה-yy

אם x=ax = a היא נקודת פיתול, מציבים y=f(a)y = f(a)

נקודת הפיתול היא: (a, f(a))\bigl(a,\ f(a)\bigr)

הערה:טבלת הסימנים היא עבור f′′(x)f''(x). האיורים הסכמטיים מתארים את f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x)

8.אסימפטוטות וסקיצה

אסימפטוטה אנכית

  • מחפשים ערכים שבהם הפונקציה שואפת ל-±∞\pm\infty
  • בדרך כלל: היכן שהמכנה מתאפס והמונה לא
  • אם lim⁡x→af(x)=±∞\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty אז x=ax = a אסימפטוטה אנכית

אסימפטוטה אופקית

  • בודקים גבולות: lim⁡x→±∞f(x)\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x)
  • אם הגבול הוא מספר LL, אז y=Ly = L אסימפטוטה אופקית
  • בפונקציה רציונלית P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)}:
  • דרגת המונה < דרגת המכנה ← y=0y = 0
  • דרגת המונה = דרגת המכנה ← yy = מנת המקדמים המובילים
  • דרגת המונה > דרגת המכנה ← אין אסימפטוטה אופקית
סקיצה:מסמנים: תחום הגדרה, אסימפטוטות, חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, נקודות פיתול, תחומי עלייה/ירידה ותחומי קעירות

רוצים ליווי אישי במסלול להצליח ב־5?

פגישת היכרות ללא עלות וללא התחייבות

לקביעת פגישת היכרותלקריאה על הגישה
מתמטיקה במודעות · לומדים מתמטיקה, לומדים את עצמנו, מצליחים