מתמטיקה במודעות

טריגונומטריה – זוויות מיוחדות וזהויות חשובות

1.טבלת הזוויות המיוחדות

xx0∘0^\circ30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ
sin⁡x\displaystyle \sin x0\displaystyle 012\displaystyle \frac{1}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}1\displaystyle 1
cos⁡x\displaystyle \cos x1\displaystyle 132\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}12\displaystyle \frac{1}{2}0\displaystyle 0
tan⁡x\displaystyle \tan x0\displaystyle 033\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}1\displaystyle 13\displaystyle \sqrt{3}לא מוגדר
שימו לב:tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, ולכן tan⁡90∘\tan 90^\circ אינו מוגדר.

2.אילו זהויות צריך להכיר?

A

זהויות בסיסיות

  • sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x + \cos^2 x = 1
  • tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
B

זהויות סכום והפרש זוויות

  • sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
  • cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
  • tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
C

זהות כפולה

  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle \sin 2x = 2\sin x\cos x
  • cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\displaystyle \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
  • cos⁡2x=2cos⁡2x−1\displaystyle \cos 2x = 2\cos^2 x - 1
  • cos⁡2x=1−2sin⁡2x\displaystyle \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x
  • tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\displaystyle \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}
D

המרות שימושיות

חצאי זווית / ריבועים
  • 1−sin⁡2x=cos⁡2x\displaystyle 1 - \sin^2 x = \cos^2 x
  • 1−cos⁡2x=sin⁡2x\displaystyle 1 - \cos^2 x = \sin^2 x
  • sin⁡2x=1−cos⁡2x2\displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
  • cos⁡2x=1+cos⁡2x2\displaystyle \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
90∘−α , 180∘−α90^\circ - \alpha\ ,\ 180^\circ - \alpha
  • sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\displaystyle \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha
  • cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\displaystyle \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha
  • tan⁡(90∘−α)=1tan⁡α\displaystyle \tan(90^\circ - \alpha) = \frac{1}{\tan\alpha}
  • sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\displaystyle \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha
  • cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\displaystyle \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha
  • tan⁡(180∘−α)=−tan⁡α\displaystyle \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha
זכרו:לעבוד בזהירות עם תחום ההגדרה.

3.משפט הסינוסים והקוסינוסים

משפט הקוסינוסים

  • a2=b2+c2−2bccos⁡α\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha

באופן מחזורי גם עבור bb, cc והזוויות המתאימות.

משפט הסינוסים

  • asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

צורה לזווית (ממשפט הקוסינוסים)

  • cos⁡α=b2+c2−a22bc\displaystyle \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

באופן מחזורי גם עבור β\beta, γ\gamma והזוויות המתאימות.

משפט הסינוסים המורחב

  • asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

RR = רדיוס המעגל החוסם.

רוצים ליווי אישי במסלול להצליח ב־5?

פגישת היכרות ללא עלות וללא התחייבות

לקביעת פגישת היכרותלקריאה על הגישה
מתמטיקה במודעות · לומדים מתמטיקה, לומדים את עצמנו, מצליחים